第五天：行程问题中的比和比例

【真题】甲、乙分别从A、C两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为5：4，相遇于B地后，甲继续以原来的速度向C地前进，而乙则立即掉头返回，并且乙的速度比相遇前降低 ，这样当乙回到C地时，甲好到达离C地18千米的D处，那么A、C两地之间的距离是多少千米？（题说：最近某重点中学考试题）
 
【点评】有一类行程题有的时候感觉很难，而且看起来无从下手，在此我要与大家分享两招解行程问题的很重要的"钥匙"，先拿一道学员所问的一道最新真题为例：
本题只告诉我们CD间的距离和甲乙二人的速度关系，经过分析题意得知第一次是两个人的相遇问题，第二次是两个人的追及问题，那么在这两个过程中都一个很重要的特征就是行走的时间相同。那么在行程中针对于时间相同有这样的一个性质：时间相同，路程比＝速度比。这也是我今天要讲的第一把钥匙。
两人行程问题的核心在于抓等量，在三要素中有了等量的要素，就决定了一种比例关系。
 
【解答】
解一：甲、乙两人第一次相遇速度比为5：4即路程AB：BC＝5：4，
那我们可以暂且令AB为5份，BC为4份，相遇后甲直行，乙掉头，
这样就变成了甲乙的一个追及问题了此时甲速不变乙速降低 这个很关键，
此时甲乙的速度比为：

即BD：BC＝25：16，这样BD比BC多25-16＝9（份）为18千米，
即AC＝18÷9×（20＋16）＝72（千米）。

强调一下另一把"钥匙"：注意"量份对应"！
本题的主线是找18所对应的份数。实际上这里应用了归一思想。

解二：比例关系的前提是抓"等量"，
本题除了看到相遇过程中时间相等，得到AB：BC=5:4;
当然追及过程中也有时间相等这一要素。
不过，如果换一个角度，
乙来回走CB与BC，这不正好是路程相等的一个要素出现了，则有反比关系可用啊。
即乙在来与回的时间比为他的速度比的反比，所以时间比为4:5,
这反映了甲走AC与CD路程所用的时间比也是4:5.
那么相对于AB是5份，BD对应的份数应该是5× 份，
那么CD所对应的份数应该是
所以有:    

当然，本题还有其他解决方法，比如方程。
不过今天的重点是强调行程中用比例关系解题：
要点一：抓等量，确定正比例或者反比例关系；
要点二："量份对应"，结合归一思想解题。

【作业】
1、甲乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，甲每小时行80千米，乙每小时行全程的10%，当乙行到全程的 时，甲车在行全程的 可到达B地，求A、B两地相距多少千米？

2、甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。那么A、B两地相距多少千米？

3、甲乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的 .甲跑第二圈时速度比第一圈提高了 ；乙跑第二圈时速度提高了 ．已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是190米，那么这条椭圆形跑道长多少米?