小升初热点专题天天串讲(第三天)

余数运算
【真题】电子玩具车A与B在一条轨道的两端同时出发，相向而行。已知A比B的速度快50%，根据推算，第 次相遇点与第 次相遇点相距58厘米，这条轨道长     厘米。（题说：2008年2月23日"奥数网杯"综合测试数学部分第3题）
答案：145

【点评】本题考点结合两方面,行程与数论结合,具体来说是行程中的多次相遇与数论中的余数问题的结合.
一般而言,两个专题结合后的难度就成指数级增长.
这道题错误率很高.
今天,重点是余数问题
多次相遇的数量关系模型简单交代一下.
对于线段型的多次相遇，大家一定熟悉第N次相遇，两者共行单程数为2N-1倍单程的规律。
我要强调这个倍数的实际意义在于它应理解为一个时间比：
共行2N-1个单程所用时间是共行一个单程所用时间的2N-1倍。
这很简单，但是一个理解的桥梁，根据这个结论可以直接得到：
单个的A所行路程的比（用了一个正比例关系：A的速度一定，所行路程与所用时间成正比）：
"此时A所行的路程是在共行一个单程时A的行程的2N-1倍。"
具体到本题，可以先求出A在共行一个单程时与乙的路程之比：（由两者的速度比决定）
（1+50%）︰1=3︰2
多次相遇问题中出现两个时刻的相遇点的类型，解决的要点是精确定位。
要定位，这里就有周期性问题。
解决周期性问题的要点在于余数（有时跟商有关）
求余数，一种方法是硬算。（有时结合找规律）另一类方法是余数运算。
【解答】
A、B两车速度比为（1+50%）︰1=3︰2
第 次相遇点的位置在：
3×（2× -1）≡5（mod10）；
第 次相遇点的位置在：
3×（2× -1）≡3（mod10）；
所以这条轨道长
58÷（5-3）×5=145（厘米）

对于上述解答，要强调一点，为什么除以10？（"mod10"指以10为除数，读作模10）
这是本题数量关系的要点所在，很多同学在这里错在周期没有搞清楚，以为周期是5,其实不是，周期应该理解为10是完整的周期，按照周期是5算的话，还要考虑商的奇偶性从而才能确定是从甲到乙方向上的，还是从乙到甲方向上的余数，而本题很难求商。
实质上，应该把A从原地出发又回到原地（一个来回正好是10份路程），看作一个周期，把这个周期内的各个点作一个标注。
 

 
现在的问题在于，我如何算出这两个余数，为什么可以这样算？

补充余数问题的"四大同余定理"：
前三条可以归为一类：
1、 如果M≡r1,N≡r2.(modA)那么：
（1） M+N≡r1+ r2(modA；
（2） M-N≡r1-r2；
（3） M·N≡r1· r2；
第四条可以由第二条推导：
2、 如果M≡N(modA)
那么A|M-N.
这一条在很多地方有应用。

【！！！】强调一下，如果注意一下"≡"在这里的"效果"，与"="有一种对应，那么，模A的余数在进行加减乘的运算后，一定"="原来的运算结合模A的余数。这种等于关系，用"≡"来连接而已。

比如说：
2+35×62-29≡1（mod4）
这里的余数为什么等于1？
如图：（我把≡竖着写了，以助理解）
 
那么为什么？
3×（2× -1）≡5（mod10）；

 
那么为什么72007≡3（mod10）?
这里用小学奥数的方法就是找规律，7n的个位数字规律（也就是7n模10）为：7、9、3、1。
如果再拓展一下，如果要求72007≡      （mod8）怎么算呢？
注意到72≡1（mod8）了吗？
则有72×72×72×……72×7
≡1×1×1×……1×7
≡7（mod8）.

【总结】
今天主要讲两方面，重点讲同余运算，补充同余四大定理。
要点：余数运算对应于加减乘的运算。
数学美感：以小御大，用余数来替原数进行运算。

【作业】
1、20072007×20082008×20092009的个位数是        .
2、（23+145）×20072007×20082008×20092009≡         （mod7）
3、 用"同余四大定理"第二条,推导：
如果M≡N(modA)
那么A|M-N.